令人頭疼的五個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)常見問題你的孩子有嗎？

自從開設(shè)數(shù)學(xué)微課以來，我已經(jīng)答疑過家長(zhǎng)上千條的問題了，這些問題覆蓋了學(xué)齡前到小學(xué)高年級(jí)不同的階段，我基本上都會(huì)階段性做自我總結(jié)，來優(yōu)化解決方案，這些問題都反映出我們數(shù)學(xué)教育在基礎(chǔ)層面上的某些缺失，大部分是學(xué)校里完全空白，沒有去訓(xùn)練孩子的。今天我整理了一些典型問題出來，講一講原因，某些問題談?wù)劷鉀Q的基本思路，希望起到一點(diǎn)撥云見日的作用。

1. 模式規(guī)律問題

這類問題非常龐雜，包含了具體到某道題目怎么解答，或者在某些應(yīng)用題看似不相關(guān)的題型中，實(shí)際滲透了模式規(guī)律的思想。從基礎(chǔ)來講，錯(cuò)誤有三類：

第一、對(duì)模式規(guī)律錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)。

這個(gè)問題，大家可以參考我以前寫的一篇文章，里面有一道具體例題解析。

八年積累聚焦一件事

第二、不能應(yīng)用模式規(guī)律

錯(cuò)誤往往發(fā)生在，只有在模式規(guī)律題中才知道要找規(guī)律，一旦脫離這個(gè)情景，就不知道在題目中實(shí)際上也在考核察覺模式的能力。這個(gè)問題，集中在中高年級(jí)，說明平常做題，缺乏不同題型之間比較歸納。

第三、缺乏空間模式的訓(xùn)練

不管是低年級(jí)的模式規(guī)律，還是高段位的圖形規(guī)律題，有時(shí)候結(jié)合數(shù)字規(guī)律，可能連父母也摸不著頭腦。其實(shí)這些都是有本質(zhì)可循的。我在課程中特別強(qiáng)調(diào)要與運(yùn)動(dòng)結(jié)合起來，空間模式上的規(guī)律，通常要基于一個(gè)動(dòng)態(tài)的變化規(guī)律，要讓孩子有意識(shí)地去思考物體在沿著某種特定的空間方向（模式）在變化，這種變化具有某種可預(yù)測(cè)性。所以，讓孩子熟悉各種空間運(yùn)動(dòng)變化，就變成一種趣味的體育鍛煉，或者是想象力訓(xùn)練了。

2. 加減法顛倒問題

這個(gè)問題通常出現(xiàn)在低年級(jí)，一二年級(jí)都有，甚至還有在三年級(jí)發(fā)生的。如果我們排除純粹是由于“粗心”，剩下來最主要的原因就在于對(duì)于加減法原理沒有吃透。

曾經(jīng)有一年，我在給支教教師進(jìn)行培訓(xùn)時(shí)，一位老教師對(duì)于加減法分開講解表示不認(rèn)同，他的觀點(diǎn)是，加減法互為逆運(yùn)算，何必要分開，放在一起更高效。

現(xiàn)在我們遇到的加減法顛倒，以及還有諸如：口頭可以解答，但到了寫算式寫反；帶括號(hào)運(yùn)算搞不清楚怎么解答，混合運(yùn)算不懂如何變符號(hào)等等問題，都可以追溯到這個(gè)錯(cuò)誤上來：加減法混合教。

加減法混合教，其教學(xué)動(dòng)機(jī)，是基于純算術(shù)法則來的。因?yàn)榧偃缥覀儚募訙p法情景關(guān)系及原理角度來分析，加法與減法的心理過程是截然不同的，對(duì)思維水平的要求也是完全不同的。從數(shù)學(xué)教育的角度講，應(yīng)該先教什么，后教什么，并不是從成人的思維角度考慮難易，而是從兒童發(fā)展角度，去考慮思維水平的層級(jí)，從而劃分出難易，以及教的順序。

下文我就有舉例幾位數(shù)學(xué)教育家的加減法認(rèn)知模型，你可以看到，所使用的語言，并非是算術(shù)層面，實(shí)際上是邏輯層面的。

觀察者還是偵破者：小學(xué)一年級(jí)小朋友經(jīng)典錯(cuò)誤解析（更新時(shí)間線圖）

下圖則是我根據(jù)皮亞杰以及kamii博士的研究和總結(jié)，歸納出來的減法結(jié)構(gòu)圖式（選自我數(shù)學(xué)微課第一階段第86課），其情景關(guān)系與加法相比，要難許多。

綜上這些理論依據(jù)，結(jié)合現(xiàn)在存在于許多孩子遇到的問題，我們有理由相信更有效的教法是，將加減法分開教，避免混淆。而這顯然在我們小學(xué)是無法完成的，如果你的孩子在學(xué)齡前，恰好處于幼小銜接年齡，那么你就有充分的時(shí)間，去進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算邏輯的引導(dǎo)，只有當(dāng)孩子加法邏輯非常清晰，穩(wěn)固后，他能夠熟練地運(yùn)用整體部分這種邏輯關(guān)系，以及演化出的逆向思維，那么再去掌握減法，就不在話下了。而這個(gè)邏輯訓(xùn)練的繼續(xù)，也可以保障孩子在日后做題目過程中，不會(huì)因?yàn)閼T性陷入盲目使用加減法的陷阱中。

3. 進(jìn)退位與位值問題

這是一個(gè)大類，其具體表現(xiàn)跨越了整個(gè)小學(xué)階段，是的，真實(shí)的現(xiàn)象并不如家長(zhǎng)們通常以為的只是小學(xué)低年級(jí)階段的問題，位值這個(gè)概念本身是滲透在小學(xué)整個(gè)階段的，其內(nèi)在層次是非常豐富的，要讓兒童透徹理解這個(gè)概念（我指透徹理解，自然包含了概念是可以靈活被運(yùn)用于不同問題的解決中的），需要在不同時(shí)期用不同的方法進(jìn)行訓(xùn)練。

首先在學(xué)齡前到小學(xué)低年級(jí)，位值是幫助孩子去理解數(shù)字的構(gòu)成，對(duì)應(yīng)的數(shù)量的涵義，這部分其實(shí)是需要依賴一些具象的經(jīng)驗(yàn)，做一些動(dòng)手的操作，諸如擺硬幣，用積木或串珠表示，這也是大家都非常常見的。但僅就如此夠不夠呢？顯然不夠，數(shù)學(xué)是一門有關(guān)歸納和演繹的學(xué)科，僅僅是演繹，沒有歸納總結(jié)，孩子也就玩玩過了。

其次第二點(diǎn)非常重要，實(shí)物要對(duì)應(yīng)于數(shù)量，對(duì)應(yīng)于符號(hào)。這也是我在昨天那篇文章中強(qiáng)調(diào)的，口頭語言和數(shù)字符號(hào)，包括圖像視覺結(jié)構(gòu)，都是需要相互轉(zhuǎn)化的，這個(gè)能夠自由游走于不同表征系統(tǒng)的能力，尤其被學(xué)習(xí)科學(xué)家們所重視。所以，位值的理解，最終要回歸到“數(shù)數(shù)關(guān)系”層面。最簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)，就是對(duì)位拆分，個(gè)位對(duì)個(gè)位，十位對(duì)十位；進(jìn)一步基于湊十法的拆分；再進(jìn)一步，基于各種四則運(yùn)算法則的巧算。

說到計(jì)算問題，其中中低年級(jí)遇到的第一道算術(shù)門檻，就是如何熟練解決進(jìn)退位。這方面，我通過了4－5個(gè)步驟去訓(xùn)練孩子，而且還要強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)是，我對(duì)于計(jì)算是非常重視的，并不是說我們強(qiáng)調(diào)邏輯，就輕視計(jì)算。計(jì)算本身的策略是能夠反映小學(xué)生是否掌握了算術(shù)思維，這是后面我們談代數(shù)思維的基礎(chǔ)。既然我們說訓(xùn)練，步驟體現(xiàn)的是系統(tǒng)性，但仍需要必要的重復(fù)，只是我們不需要再盲目刷題，我們是做有準(zhǔn)備有目的的重復(fù)訓(xùn)練。

4. 思路混亂的問題

談到這個(gè)問題，真的很難概括，我只能用“思路混亂”這么模糊的說法。具體表現(xiàn)有：

低年級(jí)小朋友不知道怎么數(shù)圖形；

在一連串?dāng)?shù)字中，計(jì)算出現(xiàn)了幾個(gè)1；

遇到兩步以上運(yùn)算的應(yīng)用題，不知道從何入手；

難以處理兩個(gè)維度比如個(gè)位十位或者表格的問題；

模式規(guī)律題不知道從哪個(gè)角度去解析；

高年級(jí)需要進(jìn)行排列組合用枚舉方式解題時(shí)的困難。

以上不能一一例舉，還有很多很多。

如果說，數(shù)學(xué)對(duì)于孩子最困難的，首先是其抽象性，這導(dǎo)致孩子看到數(shù)字就頭疼，你要抓起紙筆寫點(diǎn)什么，他就抗拒；那么接下去同樣嚴(yán)重的一個(gè)障礙就是數(shù)學(xué)特別需要條理性。

我用“條理性這個(gè)詞，比較容易讓人理解。但這個(gè)詞仍然是模糊的，讓我們剖開看，條理性，實(shí)際上意味著：

數(shù)學(xué)需要頭腦中有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹刃虻植皇ъ`活；

而秩序意味著思維內(nèi)在具有結(jié)構(gòu)有規(guī)可循；

既然可以123ABC這樣想下去，自然還需要對(duì)關(guān)系理解通透；

關(guān)系與結(jié)構(gòu)看似一樣，其實(shí)關(guān)系更注重的是一種動(dòng)態(tài)變化。

就只是這四點(diǎn)，已經(jīng)足以成為小學(xué)生需要花5－6年時(shí)間去建構(gòu)和培養(yǎng)的。

條理性，也能夠從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的題目中，加以訓(xùn)練。

前提是什么呢？我們肯定不能就解題講解題，更需要的是，講清楚，從哪里開始，為什么要從這里開始，接下去怎么推理的，有哪些可能性，其中都包含了哪些概念，以及相互之間的關(guān)聯(lián)。

對(duì)于懵懂的孩子來講，你還不適合于一古腦兒都給他，你還需要?jiǎng)澐蛛A段，每個(gè)階段都需要有側(cè)重點(diǎn)，比如這個(gè)階段我側(cè)重于訓(xùn)練孩子分析問題，把問題看清楚，用另外的語言去表達(dá)，這其實(shí)是在求什么？（比如三階段微課里，我們從最簡(jiǎn)單的歸總歸一問題入手，首先要教會(huì)孩子的是，從另外一個(gè)視角去分析問題，用總量和分量來概括問題及條件。）

要說，培養(yǎng)條理性有什么技巧方法，上面所羅列的就是重點(diǎn)，舉的例子可以讓成人反思和回味一下，最終我們的訓(xùn)練需要落實(shí)到具體問題上去。

5. 刻板思維的問題

最后我挑這個(gè)問題，是因?yàn)橛斜匾谥v完條理性后，補(bǔ)充強(qiáng)調(diào)思維“靈活”并不會(huì)與思維結(jié)構(gòu)化，有條理相沖突。我遇到一個(gè)非常有代表性的例子，在數(shù)學(xué)微課二階段，有一個(gè)孩子遇到租車問題，有大車，小車，價(jià)格不同，如何分配更經(jīng)濟(jì)，這是一種典型題，可能學(xué)過奧數(shù)的孩子都有自己的套路。家長(zhǎng)描述，孩子說老師平時(shí)教“車要坐滿最省錢”，所以他就按照這個(gè)思路解題，結(jié)果錯(cuò)了。

這就是一個(gè)教學(xué)引起刻板思維的典型例子，就一種車來講，滿車最省錢，但不代表在兩種車的情況下，一定也是如此，要綜合考慮單價(jià)以及人數(shù)的。

現(xiàn)在讓我們脫離這個(gè)問題情景來想，刻板思維的一個(gè)特征是：孩子通常把老師看成權(quán)威，并毫無置疑地相信老師說的，所以，這造成了一部分孩子把老師講的方法牢記在心，奉為唯一策略。從這個(gè)角度講，學(xué)習(xí)研究理論的結(jié)果是對(duì)的，數(shù)學(xué)教育，很重要的在于對(duì)話交流，單方面?zhèn)魇?，往往不可避免?huì)產(chǎn)生刻板問題。如果要推動(dòng)孩子思考，持續(xù)思考，就需要啟發(fā)孩子，舉更多例子，讓孩子思考是不是只有這一種可能，這比起老師講解123,要來得有效得多。

回到具體引導(dǎo)中來，我的主張是，啟發(fā)的分寸是要根據(jù)孩子思維水平，所掌握知識(shí)點(diǎn)多少深淺來控制的。就如計(jì)算的策略，根據(jù)涉及的數(shù)大小，數(shù)性質(zhì)，可以說有很多很多種，但是為什么在某個(gè)時(shí)期要特別訓(xùn)練心算策略，或者紙面上要求用特定的方法進(jìn)行巧算，那只是某個(gè)階段的特定目標(biāo)，要求孩子聚焦在這個(gè)策略上，掌握到精通，然后進(jìn)入下一階段，學(xué)習(xí)更多策略，這時(shí)候要放開限制，鼓勵(lì)孩子多策略解題?？傊?，多策略是建立在孩子內(nèi)心是“有料的”，否則在還沒有建立基本結(jié)構(gòu)的情況下，就隨意發(fā)散，反而會(huì)影響前面說的第四個(gè)問題：條理性的缺乏。

以上五個(gè)方面，不是囊括了所有的問題，在我收集的上千條案例中，還有更多類型，以及可以細(xì)分出很多分支。有些問題其實(shí)是相互關(guān)聯(lián)的，一個(gè)問題也可能導(dǎo)致其他一連串問題的產(chǎn)生。這些現(xiàn)象都充分說明了，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的概念系統(tǒng)性非常重要，我一直認(rèn)為，數(shù)學(xué)并不應(yīng)該是少部分天才的專區(qū)，看上去現(xiàn)在名校自主招生，都瞄準(zhǔn)了拿了國際競(jìng)賽大獎(jiǎng)的學(xué)生，所謂天才，奇才，專才。但對(duì)于我教育者來講，更有興趣研究的則是如何讓普通人都可以達(dá)到綜合素質(zhì)高的優(yōu)秀人才，培養(yǎng)天才和培養(yǎng)人才，這是完全兩條不同的路，同樣的培養(yǎng)高分者與培養(yǎng)高能者，也是完全不同的，這也決定了在教學(xué)上將會(huì)截然不同。