2019
2014
談到小奧和初中的關(guān)系，絕大多數(shù)人都會(huì)說小奧學(xué)到了什么程度再學(xué)初中，其實(shí)這個(gè)一般都是以上岸為分界點(diǎn)，這是升學(xué)而非知識(shí)上的分水嶺。我一向認(rèn)為數(shù)學(xué)沒有那么明顯的劃分，大學(xué)之前學(xué)習(xí)的都是初等數(shù)學(xué)，幾乎所有的知識(shí)點(diǎn)都可以直觀地展現(xiàn)。小學(xué)和中學(xué)的區(qū)別在于學(xué)習(xí)的深度和廣度不同。雖然絕大多數(shù)孩子學(xué)習(xí)奧數(shù)都是為了小升初，但是奧數(shù)學(xué)習(xí)不應(yīng)該成為小學(xué)階段的“終點(diǎn)”，而是一個(gè)“中點(diǎn)”。
考慮到時(shí)間有限，為了應(yīng)對(duì)特定考試的范圍，所以才學(xué)習(xí)了特定的內(nèi)容。就我的實(shí)操來看，平時(shí)課內(nèi)從不提前，課外只學(xué)小奧，如果遇到了概念性的知識(shí)點(diǎn)就掃盲一下，在第一輪學(xué)習(xí)中沒有遇到太大的問題。處理初中的內(nèi)容也是一樣，如果覺得這個(gè)知識(shí)點(diǎn)將來有用，那么提前滲透一下也未嘗不可。
學(xué)習(xí)就是不斷從明白到糊涂的周而復(fù)始的過程，孩子自以為明白的時(shí)候，給塞點(diǎn)題使其糊涂，在糊涂的時(shí)候適當(dāng)引導(dǎo)一下又明白了，周而復(fù)始，而你塞的內(nèi)容是什么并不重要。
01理念
從難度方面看，初中課內(nèi)數(shù)學(xué)的難度是最低的，其次是小奧里面的中檔題目，然后是高中數(shù)學(xué)的中檔題目和小奧的難題，最后是高中壓軸題的難度。小學(xué)生提前中學(xué)數(shù)學(xué)的問題，主要是概念和知識(shí)體系的限制。
就我個(gè)人的感受來說，提前校內(nèi)實(shí)質(zhì)上對(duì)于提升小奧的作用并不是很大，很多人提前校內(nèi)無非是奧數(shù)推不動(dòng)換個(gè)簡(jiǎn)單的繼續(xù)學(xué)。既然初中校內(nèi)的內(nèi)容比簡(jiǎn)單，那么也可以在小奧學(xué)習(xí)中提前滲透一下初中甚至高中的知識(shí)。
小奧考察的是用簡(jiǎn)單知識(shí)解決復(fù)雜問題第能力，所以過于強(qiáng)調(diào)技巧而不是通解，而中學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性和連貫性非常強(qiáng)，二者的解題思想是完全不同的。技巧用的好可以復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，可用不好能把簡(jiǎn)單的問題變復(fù)雜，這也是部分孩子學(xué)完奧數(shù)反而養(yǎng)成了一些壞習(xí)慣的原因。并且小奧的知識(shí)點(diǎn)太零散了，這也是為什么遺忘是學(xué)習(xí)中最常見問題。
02好處
第一、對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解更加深刻。
因?yàn)橛械膬?nèi)容屬于中學(xué)知識(shí)點(diǎn)的提前下放，只是做了一些簡(jiǎn)化，也有加強(qiáng)的，比如計(jì)數(shù)模塊超過高考難度，這些內(nèi)容反正將來也要學(xué)，不如再深入學(xué)習(xí)一下，這樣可以引發(fā)孩子思考，提升綜合能力。
第二、直接秒殺題目。
這些題目用小奧的知識(shí)點(diǎn)求解會(huì)比較繁瑣，如果換成高階的工具答案就極其簡(jiǎn)單。目前絕大多數(shù)的機(jī)構(gòu)選拔、比賽、小升初試題還是以3-4星題目為主，低難度必然時(shí)間緊張，所以如果能秒殺一些題目，對(duì)于提高考試成績(jī)有非常明顯的幫助。
第三、簡(jiǎn)化計(jì)算過程。
很多小奧題目都是中學(xué)聯(lián)賽的題目改編，就算是小奧的教練也會(huì)關(guān)注中學(xué)的內(nèi)容。再加上小奧對(duì)過程幾乎不考察，所以如果掌握了某些定理和結(jié)論可以直接拿來使用，簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，縮短思維路徑，就像學(xué)棋都要先背定式一樣，對(duì)方用定式我也用定式，把計(jì)算力留在中盤和殘局。
03案例
一、計(jì)算
小奧整體上對(duì)于計(jì)算的要求非常弱，任何考試第一題的送分題永遠(yuǎn)是計(jì)算題，如果不學(xué)分?jǐn)?shù)最高可以刷完四導(dǎo)，不學(xué)方程最高可以刷完五導(dǎo)（其實(shí)六導(dǎo)也能硬做，不過對(duì)水平要求很高），很多題目的設(shè)置初衷，就是讓你用方程方法計(jì)算反而更加復(fù)雜。計(jì)算里面最難的兩個(gè)內(nèi)容是定義新運(yùn)算和不等式的放縮。這兩個(gè)想要學(xué)好，最好強(qiáng)化一下通項(xiàng)公式的內(nèi)容。
通項(xiàng)公式是高中重點(diǎn)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，可以用累加法、累乘法、歸納法、求和法、待定系數(shù)法、倒數(shù)法等來求通項(xiàng)公式，可小奧的要求沒有這么高，只用最基本的就足夠了。
小奧中的等差/二階等差數(shù)列、等比數(shù)列、裂項(xiàng)、數(shù)列數(shù)表、遞推計(jì)數(shù)、定義新運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，都需要尋找各項(xiàng)的規(guī)律，通項(xiàng)公式的練習(xí)對(duì)于處理這些問題很有幫助。小奧的體系對(duì)于通項(xiàng)不太重視，傾向于把前幾項(xiàng)寫出來，總結(jié)規(guī)律后直接寫答案，不過，這種方法在處理一些復(fù)雜問題時(shí)會(huì)比較麻煩。
下面這道題是6年級(jí)導(dǎo)引第19講《進(jìn)位制與取整符號(hào)》超越篇第8題，第2問的答案比較繁瑣，我們都知道通項(xiàng)公式的寫法不唯一，如果換個(gè)方式寫通項(xiàng)，就會(huì)使計(jì)算量減少，也降低了出錯(cuò)的可能性。
6年級(jí)導(dǎo)引 第19講《進(jìn)位制與取整符號(hào)》超越篇第8題
下面這道題目出自6年級(jí)導(dǎo)引第1講《分?jǐn)?shù)數(shù)列計(jì)算》超越篇。分母是2*N+1，我們肯定是要拆這個(gè)分母的，答案拆成了N和N+1，這種做法其實(shí)就是把題做崩了，強(qiáng)行得到的答案。如果拆成2*N和1，那么新的兩個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列都是裂項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)形式，熟練的話根本不用展開，根據(jù)公式可以直接寫結(jié)果。
6年級(jí)導(dǎo)引 第1講《分?jǐn)?shù)數(shù)列計(jì)算》超越篇
除此以外，比如換元法、求解方程（組）、高難度的裂項(xiàng)、各種常見計(jì)算公式的應(yīng)用，均值不等式（和同近積大）、單調(diào)性、不等式都和中學(xué)知識(shí)或多或少有聯(lián)系，能多學(xué)一點(diǎn)當(dāng)然更好，但不學(xué)問題也不大，因?yàn)閷?duì)于計(jì)算模塊來說，難度的上限決定了不用做太多的難題。
二、計(jì)數(shù)
計(jì)數(shù)之所以是一個(gè)區(qū)分度非常高的模塊，就是因?yàn)閷?duì)人的綜合能力要求太強(qiáng)了，有一步出錯(cuò)整個(gè)題目就白做了。水平越高，用的方法越少，列式越簡(jiǎn)單。
有一天孩子參加活動(dòng)免費(fèi)領(lǐng)了一個(gè)高爾頓板，玩了很久。我問他，為什么兩邊的分?jǐn)?shù)最高，中間的分?jǐn)?shù)最低？因?yàn)楹⒆訉W(xué)過標(biāo)數(shù)法，所以回答起來不難，接著問如果彈100次平均分大概是多少？這個(gè)期望和概率問題以他現(xiàn)在的知識(shí)是不太好立即回答的，需要研究一下楊輝三角的性質(zhì)。
楊輝三角在中學(xué)有所涉及，在我的殘存的印象中也只是研究一小部分內(nèi)容，據(jù)說它的性質(zhì)至少有幾千種，因?yàn)闀r(shí)間和范圍的關(guān)系，只講了最重要的幾種。
首先是遞推關(guān)系：
然后引入二項(xiàng)式的知識(shí)點(diǎn)，這就是偏中學(xué)的內(nèi)容了。
三、幾何
很多家長(zhǎng)在輔導(dǎo)幾何模型的時(shí)候，都會(huì)不自覺地使用中學(xué)的相似，但這個(gè)概念在小奧里面是沒有的，可是在某些高難度的題目里面，相似是跳不過去的。我建議如果孩子可以接受可以講一下相似，然后把幾何模型看做相似的特殊情況。
初中的講課一般是上來說概念，然后說性質(zhì)，非常嚴(yán)謹(jǐn)，也很枯燥。引入概念之前，可以先找一個(gè)放大鏡，然后問孩子用這個(gè)放大鏡去看一個(gè)角度，量出來的角度會(huì)不會(huì)變大。憑借直覺孩子肯定會(huì)說變大，在判斷是否正確之前，可以先分析平角，也就是看一條直線是否會(huì)變彎，這時(shí)候就會(huì)發(fā)現(xiàn)，角經(jīng)過放大以后，邊的粗細(xì)和長(zhǎng)短被放大了，然而張開的程度卻不會(huì)改變，所以角度仍舊不變。
同理，我們用手機(jī)照相，也是各部分成比例地放大，而形狀不變，那么這就是“相似”，也就是說給你照了10張照片，洗出來10種尺寸，那么這10張照片都是相似的，全等是一種特殊的相似。這個(gè)過程重要的是理解，而不是嚴(yán)謹(jǐn)，小學(xué)幾何不需要嚴(yán)謹(jǐn)，因?yàn)楹芏鄸|西都是先看出來后再嚴(yán)格證明的。
所以我們研究三角形相似只需要看角就足夠了，在金字塔、沙漏模型里面角度相等是通過平行構(gòu)造的，而在一般的情況下，要通過互補(bǔ)或者互余來證明，這個(gè)在正方形或者其他正多邊形里面最為常見。主要用的就是對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)比、以及面積比的關(guān)系。
四、行程
傳統(tǒng)的直線行程問題畫圖方式，是在一維空間上用長(zhǎng)度表示路程，然后標(biāo)上對(duì)應(yīng)的速度和時(shí)間，時(shí)間更多的是一段時(shí)間而非時(shí)刻，因?yàn)橐痪S空間的限制，所以很多東西無法更精確地表達(dá)出來，如果我們更關(guān)注整個(gè)過程中，在任意時(shí)刻物體所在的位置，那么需要用S-T圖。這是中學(xué)數(shù)學(xué)或者物理的做法。
S-T的圖像是一元一次函數(shù)，形式是一條傾斜直線，傾斜程度越大，速度越大，如果發(fā)生了變速那么只需要讓直線變彎即可，因?yàn)槭嵌S空間的圖，所以可以非常清楚看到整個(gè)過程中物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，在解決相遇問題或者多次往返問題時(shí)有異常簡(jiǎn)便的方法。
下面這道題是6年級(jí)導(dǎo)引第第14講《行程問題六》超越篇的第7題，答案用的代數(shù)法，也就是法一。如果做題感覺好的話，第一反應(yīng)是12、14、16以及16、17、18都是等差數(shù)列，出題人是不會(huì)隨便寫這幾個(gè)時(shí)刻的，第二反應(yīng)是所有條件只與時(shí)間有關(guān)系，那么就意味著答案肯定是與速度沒有關(guān)系，也就不用分析速度。
畫成法二的S-T圖后發(fā)現(xiàn)，要求的那個(gè)相遇時(shí)刻，正好是由12點(diǎn)、16點(diǎn)、和18點(diǎn)三個(gè)時(shí)刻組成三角形的重心，由初中的重心知識(shí)點(diǎn)可以知道，這個(gè)點(diǎn)到14點(diǎn)和18點(diǎn)距離是1:2，那么相遇時(shí)間就口算出來了。如果不知道重心的知識(shí)點(diǎn)，或者時(shí)刻不是等差數(shù)列，那么依然可以通過燕尾模型或者梅涅勞斯定理求出比例，就是稍微麻煩一點(diǎn)。
6年級(jí)導(dǎo)引 第14講《行程問題6》 超越篇第7題
上面這道題目的優(yōu)勢(shì)其實(shí)不太明顯，下面這道題目更加能夠顯示出S-T圖在處理多個(gè)對(duì)象的復(fù)雜相遇問題的優(yōu)勢(shì)。這道題目在計(jì)算中增加了一個(gè)沙漏模型，甲和丙的相遇地點(diǎn)還是三角形的重心。
S-T圖的方法更加好用，為什么用的很少呢。這是行程問題本身的特性決定的，因?yàn)樾谐虒儆谄綍r(shí)學(xué)的難，但是考的并不難的模塊，難度太大的行程問題，光讀題和圖畫就要5分鐘，所以一般作為中檔題。對(duì)于絕大多數(shù)考試，這種方法發(fā)揮的空間不太大，并且除了對(duì)題目的閱讀能力外，還要有幾何基礎(chǔ)。
04總結(jié)
本篇文章舉了幾個(gè)模塊的案例，雖然寫了這么多，但實(shí)際上這些方法都屬于錦上添花。也就是說掌握了他們可以在考試中更快更穩(wěn)，可是如果你把其他的方法掌握好了，也不會(huì)有太大的差距。而接下來要寫的組合和數(shù)論中的方法完全不同，他們是真正能夠降維打擊的，實(shí)戰(zhàn)中效果更好?？梢?yàn)槠邢蘧筒徽归_了，留在下篇里寫。
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