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我會把一些介紹性的內(nèi)容搬運過來,不過有些習(xí)題,這邊的格式如何設(shè)置便于閱讀,我還沒空研究,建議去微信公眾號觀看,謝謝。
前面我們給孩子講了點、線、角、長度、角度的概念、今天開始我們就可以像玩積木一樣,用這些已經(jīng)學(xué)過的概念,探索形狀的世界。讓我們由少至多,由方至圓,從三角形開始我們的旅途。
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什么是三角形?
先來帶孩子們親手畫出一個三角形:在白紙上畫出兩條相交于一點的線段,將兩條線段的另一端用直尺連起來,是不是就構(gòu)成一個封閉圖形,這就是一個三角形。
三角形是由三條線段圍起來的封閉圖形。
三角形上包含哪些幾何元素呢?有三個頂點、三個角和三條邊。
圖片來源:《生動的幾何--三角形》
知道了什么是三角形,請孩子想一想、看一看,生活中有哪些地方藏著三角形?(注意由于現(xiàn)實中很少有理想的點,所以很多三角形是接近三角形而不是跟數(shù)學(xué)課本上長得一模一樣哦?。?/span>
圖片來源:《走進奇妙的幾何世界--奇妙的三角》
2
三角形有什么特點?
三角形,顧名思義,三個角是它的重點,這里面有什么特點呢?請孩子在紙上畫一個三角形,并剪下來,然后剪掉三個角,將三個角的頂點放在同一處,邊相互緊挨著,3個角是不是組成了一條直線?
圖片來源:《看漫畫學(xué)幾何》
請孩子多做幾個不同三角形,反復(fù)驗證下?他們是否可以自己總結(jié)出這樣一個性質(zhì),3個角的角度之和是180度(直線相當(dāng)于一個平角,180度)。讓他們想想看,這個特點還可以如何證明,答案可以參考下圖:
圖片來源:《數(shù)學(xué)在哪里 小學(xué)四年級下冊》
你看,有了這些動手實踐,三角形內(nèi)角和是180度孩子還會忘記嗎?
3
三角形有哪些類型?
就像人類雖然從身體結(jié)構(gòu)上都是一樣的,但還是會分成白種人、黃種人、黑人。三角形雖然有著統(tǒng)一的結(jié)構(gòu),也是需要進一步分類和區(qū)分的。分類講究的是角度統(tǒng)一、不遺漏、不重復(fù)。例如吃的東西,可以分成好吃和不好吃,不能分為好吃和圓的對嗎?
三角形包含了角和邊這兩種重要元素,我們可以分別從角和邊兩個層面進行分類。從角的層面來看,角可以按照大小分為銳角、直角和鈍角,那三角形的三個角可以如何組合呢?
讓孩子們試著畫出各種三角形,自己總結(jié)一下??梢詥枂査麄?,你們能畫出有2個直角/2個鈍角/1個直角+1個鈍角的三角形嗎?顯然不能,這是受到了前面講的三角形內(nèi)角和是180度的限制。因此三角形的三個角,要不就都是銳角,要不其中一個是直角,要不其中一個是鈍角,所以合理的分類就是分為:
銳角三角形:三個角均小于90度的三角形。
直角三角形:有一個角等于90度的三角形。
鈍角三角形:有一個角大于90度的三角形。
圖片來源:《25堂幾何實驗課》
這是從角的層面來分類,那這樣分類之后,這三類三角形的邊有什么特殊性質(zhì)嗎?讓孩子們想一想,大概率他們會說沒有什么限制。
這時候不妨賣個關(guān)子,告訴他們在直角三角形中隱藏著勾股定理,也就是畢達哥拉斯定理哦,具體的講解我們會放在后面的其他章節(jié)。
如果從邊的角度來分類,又要怎么分呢?
其實就是按照每個邊都不相等,有兩個邊一樣長,和三個邊全都一樣長來分類。
等腰三角形:至少兩條邊相等,且它們所對應(yīng)的兩個角也相等的三角形。
等邊三角形:三條邊相等,且三個角也相等的三角形
圖片來源:《25堂幾何實驗課》
這里有一個邏輯陷阱,需要特別給孩子們指出,請問下他們:
等腰三角形和等邊三角形是勢不兩立,有我沒你的對立關(guān)系嗎?還是你中有我的包含關(guān)系?
答案是他們是包含的關(guān)系,等邊三角形是一種特殊的等腰三角形。
所以從邊的層面來看,嚴格地說,三角形分為等腰三角形和非等腰三角形(不等邊三角形),其中等腰三角形里包含一種特殊的等邊三角形。
那么等腰三角形和等邊三角形中的角又有什么特性呢?定義里其實也已經(jīng)告訴我們了,就是分別有2個角或者3個角相等。
試試看孩子們能否在下圖中找出上述各種三角形:
圖片來源:《圖解數(shù)學(xué)》
在介紹了兩種分類方法后,考驗孩子們理解是否到位的時候到了:
等邊三角形可能是直角三角形嗎?可能是鈍角三角形嗎?
等腰三角形可能是直角三角形嗎?可能是鈍角三角形嗎?
鈍角三角形可能是等腰三角形嗎?可能是等邊三角形嗎?
如果沒暈才是真的懂了。
最后,還要強調(diào)兩種三角形,請孩子們思考一下,等邊三角形的每個角是多少度?等腰直角三角形的每個角是多少度?
由于三角形內(nèi)角和是180度,因此等邊三角形的每個內(nèi)角都是180度除以3等于60度。由于等腰直角三角形已經(jīng)有一個直角了,另外兩個角就是平分90度,也就是45度。
熟知這兩種三角形的特點,對于后續(xù)幾何解題會很有幫助。
4*
三角形的有趣之處?
前面咱們學(xué)習(xí)的是三角形一些非常顯而易見的特點。其實這個圖形中還隱藏著很多有趣的幾何特征。如果孩子有興趣,不妨帶他們一起了解一下:
與角平分線有關(guān)的性質(zhì)1:
請孩子們在紙上畫下一些不同的角,把紙剪開,使得每個紙上都有一個角,將每個角對折(使得兩邊重合),對折后的折線將這個角分成了相等的兩半,這個線就叫做角平分線。
圖片來源:《漢聲數(shù)學(xué)--奇妙的三角形》
請孩子們畫出一個三角形,將三個角分別對折一次,得到三個角的角平分線。只要折紙的時候小心一點,他們就會神奇的發(fā)現(xiàn),三條線相交在一個共同的點上。
圖片來源:《漢聲數(shù)學(xué)--奇妙的三角形》
更神奇的是,如果你拿出一個圓規(guī),以該點為圓心,你能夠畫出一個正好套進三角形中的圓,也就是這個圓能與三角形的每條邊都剛好碰一下。
圖片來源:《漢聲數(shù)學(xué)--奇妙的三角形》
與中垂線有關(guān)的性質(zhì)2:
中垂線就是過一條線段中點的垂線。中點就是線段正中間的點,可以把線段分為相等的兩個部分。三角形的每個邊都是線段。在紙上畫一個三角形(不要剪下來),將一條邊的兩個頂點對在一起,就可以折出這條邊的中垂線。折出三條邊的中垂線后,你又能神奇地發(fā)現(xiàn),三條中垂線也相交于相同的一點。
圖片來源:《漢聲數(shù)學(xué)--奇妙的三角形》
如果你用該點為圓心,又可以畫出一個圓,正好套住這個三角形,也就是三角形的每個頂點都在這個圓上。
圖片來源:《漢聲數(shù)學(xué)--奇妙的三角形》
與中線有關(guān)的性質(zhì)3:
還有一種線叫三角形的中線,就是從一個頂點到對邊中點的直線。我們同樣可以折出三角形的三條中線,仍舊會發(fā)現(xiàn)三條線交于同一個點,這個點就是三角形的重心,也就是三角形重量的中心。
圖片來源:《漢聲數(shù)學(xué)--奇妙的三角形》
你可以找一個厚紙板,畫上一個三角形及三條中線,剪下這個三角形,試試看能否用鉛筆在重心這個點上頂住它并保持平衡。
圖片來源:《漢聲數(shù)學(xué)--奇妙的三角形》
最后,這三個性質(zhì)在等邊三角形上會有更神奇的組合:三心合一。
圖片來源:《漢聲數(shù)學(xué)--奇妙的三角形》
今天因為是剛開始接觸幾何,暫時只是提出這些特征,不作復(fù)雜的證明。還記得幾何發(fā)展史中,咱們說過幾何的學(xué)科飛躍源自從經(jīng)驗到證明的改變嗎?希望你可以告訴孩子,請他們繼續(xù)深入學(xué)習(xí),一定會有機會親自證明這些有趣的性質(zhì)!
參考資料:
《走進形狀的世界》 [英]羅博.考爾森 著 湖南少年兒童出版社
《圖解數(shù)學(xué)》[英] 英國DK公司 編著 清華大學(xué)出版社
《數(shù)學(xué)在哪里 小學(xué)四年級下冊》 唐彩斌 主編 電子工業(yè)出版社
《奇妙的三角形》 [美]喬.菲利普斯 著 貴州人民出版社
《走進奇妙的幾何世界--奇妙的三角》 [英]格里.貝利 著 浙江教育出版社
《25堂幾何實驗課》 [美]詹尼斯.范克里夫 著 上??茖W(xué)技術(shù)文獻出版社
《看漫畫學(xué)幾何》 [日] 岡部恒治 著 中國輕工業(yè)出版社